//World of Mathematics

PEMBUKTIAN OPERASI PADA MATRIKS

Kamis, 10 Oktober 2013 • 16.10 • 0 comments

a) Pembuktian Operasi A + B = B + A

Kita harus menunjukkan bahwa A + B dan B + A memiliki ukuran sama dan entri-entri yang bersesuaian adalah setara. Untuk membuktikan A + B maka matriks A dan B harus memiliki ukuran yang sama misalkan mxn. Sama halnya untuk B + A merupakan matriks mxn dan sebagai konsekuensinya A + B dan B + A memiliki ukuran yang sama.\

Misalkan A =[a_ij] dan B = [b_ij]. Entri-entrinya merupakan bilangan real. Kita akan menunjukkan bahwa entri-entri yang bersesuaian dari A + B dan B + A adalah setara; yaitu

[A + B]_ij = [B + A]_ij , untuk setiap i dan j.

Berdasarkan definisi penjumlahan kita memperoleh

[A + B]_ij = [A]_ij + [B]_ij= a_ij+ b_ij

Karena entri-entrinya merupakan bilangan real maka berlaku sifat komutatif sehingga

[A + B]_ij = b_ij+ a_ij = [B]_ij + [A]_ij = [B + A]_ij

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa untuk setiap matriks A_mxn dan B_mxn berlaku operasi A + B = B + A

b) Pembuktian Operasi A + (B + C) = (A + B) + C

Kita harus menunjukkan bahwa A + (B + C) dan (A + B) + C memiliki ukuran yang sama dan entri-entri yang bersesuaian adalah setara. Untuk membuktikan A + (B + C) maka matriks A, B, dan C harus memiliki ukuran yang sama misalkan mxn. Sama halnya untuk (A + B) + C merupakan matriks mxn dan sebagai konsekuensinya A + (B + C) dan (A + B) + C memiliki ukuran yang sama.

Misalkan A =[a_ij], B = [b_ij], dan C= [c_ij]. Entri-entrinya merupakan bilangan real. Kita akan menunjukkan bahwa entri-entri yang bersesuaian dari A + (B + C) dan (A + B) + C adalah setara; yaitu

[A + (B + C)]_ij= [(A +B) + C]_ij_,untuk setiap i dan j.

Berdasarkan definisi penjumlahan kita memperoleh

[A + (B + C)]_ij = [A]_ij+ ([B]_ij + [C]_ij)

= a_ij + (b_ij + c_ij)

= a_ij + b_ij + c_ij

Karena entri-entrinya merupakan bilangan real maka berlaku sifat asosiatif sehingga

[A + (B + C)]_ij = (a_ij + b_ij) + c_ij= ([A]_ij + [B]_ij) + [C]_ij = [(A + B) + C]_ij

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa untuk setiap A_mxn, B_mxn, dan C_mxn

berlaku A + (B + C) = (A + B) + C

c) Pembuktian Operasi A(BC) dan (AB)C

Kita harus menunjukkan bahwa A(BC) dan (AB)C memilki ukuran sama dan entri-entri yang bersesuaian adalah setara. Untuk membuktikan A(BC), jumlah kolom matriks B harus sama dengan jumlah baris matriks C. Misalkan matriks B_mxp, matriks C_pxn maka (BC)_mxn. Matriks A harus memiliki jumlah kolom sama dengan jumlah baris matriks B, sehingga ukurannya dalam bentuk kxm. Maka matriks A(BC) memiliki ukuran kxn atau bisa ditulis dengan [A(BC)]_kxn.

Misalkan A=[a_ij] adalah matriks kxm, B=[b_ij] adalah matriks mxp, dan C=[c_ij] adalah matriks pxn serta entri entrinya merupakan bilangan real. Kita ingin menunjukkan bahwa entri-entri yang bersesuaian dari A(BC) dan (AB)C adalah setara; yaitu,

[A(BC)]_ij = [(AB)C]_ij , untuk semua nilai i dan j.

Meskipun operasi perkalian matriks didefinisikan untuk sepasang matriks namun penyisipan tanda kurung tidak begitu dihiraukankan karena tidak berpengaruh pada hasil akhir. Berapapun jumlah hasikali dari matriks-matriks, sepasang tanda kurung dapatdisispkan atau dihilangkan di mana saja di dalam pernyataan tanpa mempengaruhi hasil akhir.

Untuk lebih jelaskan akan diuraikan pada pembuktian secara rinci.

d) Pembuktian Operasi ini sudah dijelaskan di buku Aljabar Linear Elemeter (Anton.Rorres)

e) Pembuktian Operasi (B + C) A = BA + CA

Kita harus menunjukan bahwa ( B + C ) A dan BA + CA memiliki ukuran yang sama dan entri-entri yang bersesuaian adalah setara. Untuk membuktikan ( B + C ) A, matriks-matriks B dan C harus memiliki ukuran yang sama, misalnya mxn, dan matriks A harus memiliki n baris sehingga ukurannya harus dalam bentuk nxr. Dengan demikian ( B + C ) A adalah matriks mxr. Maka BA + CA juga merupakan matriks mx r dan seagai konsekuensinya, ( B + C ) A dan BA + CA memiliki ukuran yang sama.

Misalkan A = [a_ij], B = [b_ij], C = [c_ij], kita akan menunjukan bahwa entri-entri yang bersesuaian dari (B + C ) A dan BA + CA adalah setara ; yaitu,

[ ( B + C ) A ]_ij = [BA + AC ]_ij

untuk semua nilai i dan j. Selanjutnya berdasarkan definisi penjumlahan dan perkalian matriks kita memperoleh :

[( B+C )A]_ij= (b_i1 + c_i1) a_1j + (b_i2 + c_i2) a_2j+. . .+ (b_in + c_in) a_nj

= (b_i1 a_1j+ b_i2 a_2j + . . .+ b_in a_nj) + (c_i1a_1j+ c_i2 a_2j + ...+ c_in a_nj )

=[BA]_ij+ [CA]_ij

= [ BA + CA ]_ij

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa untuk setiap matriks A_nxr, matriks B_mxn dan matriks C_mxn berlaku (B + C) A = BA + CA

f) Pembuktian Operasi A ( B – C ) dan AB – AC

Kita harus menunjukan bahwa A ( B – C ) dan AB – AC memiliki ukuran yang sama dan entri-entri yang bersesuaian adalah setara. Untuk membuktikan A ( B – C ), matriks-matriks B dan C harus memiliki ukuran yang sama, misalnya m x n, dan matriks A harus memiliki m kolom sehingga ukurannya harus dalam bentuk r x m. Dengan demikian A ( B – C ) adalah matriks r x n. Maka AB – AC juga merupakan matriks r x n.

Misalkan A = [a_ij], B = [b_ij], C = [c_ij], kita akan menunjukan bahwa entri-entri yang bersesuaian dari A ( B – C ) dan AB – AC adalah setara ; yaitu,

[A ( B – C ) ]_ij = [AB – AC ]_ij

untuk semua nilai i dan j. Selanjutnya berdasarkan definisi pengurangan dan perkalian matriks kita memperoleh :

[A ( B – C ) ]= a_i1(b_1j - c_1j) + a_i2 (b_2j – c_2j)+...+ a_im(b_mj – c_mj)

= (a_i1b_1j+ a_i2 b_2j + ...+ a_im b_mj ) – (a_i1c_1j+ a_i2 c_2j + ...+ a_im c_mj )

= [AB]_ij– [AC]_ij

= [ AB – AC ]_ij

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa untuk setiap matriks A_rxn, matriks B_mxn dan matriks C_mxn berlaku A ( B – C ) = AB – AC

g) Pembuktian Operasi A ( B – C ) = AB – AC

Kita harus menunjukkan bahwa (B – C)A dan BA – CA memiliki ukuran yang sama dan entri-entri yang bersesuaian adalah setara. Untuk membuktikan (B – C)A, matriks A dan C harus memiliki ukuran yang sama, misalnya mxr, dan matriks A harus memiliki r baris baris sehingga ukurannya harus dalam bentuk rxn. Dengan demikian matriks (B – C)A adalah matriks mxn. Maka matriks BA – CA juga merupakan matriks mxn dan sebagai konsekuensinya, (B – C)A dan BA – CA memiliki ukuran yang sama.

Misalkan A=[a_ij], B=[b_ij], dan C=[c_ij]. Kita ingin menunjukkan bahwa entri-entri yang bersesuaian dari (B – C)A dan BA – CA adalah setara; yaitu,

[(B – C)A]_ij = [BA-CA]_ij, untuk semua nilai i dan j.

Berdasarkan definisi pengurangan dan perkalian matriks kita memperoleh

[(B-C)A]_ij= (b_i1-c_i1)a_1j + (b_i2-c_i2)a_2j+ . . . + (b_ir -c_ir)a_rj

= (b_i1a_1j+b_i2a_2j+. . .+b_ira_rj) – (c_i1a_1j+c_i2a_2j+. . .+c_ira_rj)

= [BA]_ij – [CA]_ij= [BA – CA]_ij

Dengan demikian dapat disimpulkan untuk setiap matriks A_rxn, B_mxr, dan C_mxr berlaku (B-C)A = BA – CA.

h) Pembuktian Operasi a(B+C) = aB + aC

Kita harus menunjukkan bahwa a(B+C) dan aB + aC memiliki ukuran yang sama dan entri-entri yang bersesuaian adalah setara. Untuk membuktikan a(B+C), matriks B dan C harus memiliki ukuran yang sama, misalnya mxn dan a adalah sebarang skalar. Dengan demikian a(B+C) adalah matriks mxn. Maka aB + aC juga merupakan matriks mxn, dan sebagai konsekuensinya a(B+C) dan aB+aC memiliki ukuran yang sama.

Misalkan B= [b_ij] dan C= [c_ij] dan entri-entri nya merupakan bilangan real. Kita ingin menunjukkan bahwa entri-entri yang bersesuaian adalah setara; yaitu

[a(B+C)]_ij= [aB + aC]_ij, untuk semua i dan j.

Berdasarkan definisi penjumlahan dan kelipatan skalar kita memperoleh

[a(B+C)]_ij= a[B+C]_ij= a(b_ij+c_ij)

Karena entri-entrinya merupakan bilangan real maka dapat berlaku sifat distributif, sehingga

[a(B + C)]_ij = a(b_ij+c_ij) =ab_ij + ac_ij= a[B]_ij + a[C]_ij = [aB + aC]_ij

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa untuk setiap matriks Bmxn dan Cmxn dengan a adalah sebarang skalar, berlaku a(B+C) = aB + aC.

i) Pembuktian Operasi a(B-C) = aB - aC

Kita harus menunjukkan bahwa a(B-C) dan aB - aC memiliki ukuran yang sama dan entri-entri yang bersesuaian adalah setara. Untuk membuktikan a(B-C), matriks B dan C harus memiliki ukuran yang sama, misalnya mxn dan a adalah sebarang skalar. Dengan demikian a(B-C) adalah matriks mxn. Maka aB - aC juga merupakan matriks mxn, dan sebagai konsekuensinya a(B-C) dan aB-aC memiliki ukuran yang sama.

Misalkan B= [b_ij] dan C= [c_ij] dan entri-entri nya merupakan bilangan real. Kita ingin menunjukkan bahwa entri-entri yang bersesuaian adalah setara; yaitu

[a(B-C)]_ij= [aB - aC]_ij, untuk semua i dan j.

Berdasarkan definisi penjumlahan dan kelipatan skalar kita memperoleh

[a(B-C)]_ij= a[B-C]_ij= a(b_ij+c_ij)

Karena entri-entrinya merupakan bilangan real maka dapat berlaku sifat distributif, sehingga

[a(B - C)]_ij = a(b_ij-c_ij) =ab_ij - ac_ij= a[B]_ij - a[C]_ij = [aB - aC]_ij

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa untuk setiap matriks Bmxn dan Cmxn dengan a adalah sebarang skalar, berlaku a(B-C) = aB - aC.

j) Pembuktian Operasi ( a + b )C = aC + bC

Kita harus menunjukan bahwa ( a + b )C dan aC + bC memiliki ukuran yang sama dan entri-entri yang bersesuaian adalah setara.maka untuk itu dimisalkan C = [ c_ij ] dengan a dan b merupakan sebarang skalar bilangan real. Selanjutnya kita akan menunjukan bahwa entri-entri yang bersesuaian dari ( a + b )C dan aC + bC adalah setara ; yaitu

[( a + b )C ]_ij = [ aC + bC ]_ij

untuk semua nilai i dan j. Selanjutnya berdasarkan definisi penjumlahan dan kelipatan skalar pada matriks kita peroleh :

[( a + b )C ]_ij = ( a + b )c_ij

= ac_ij+ bc_ij

= (aC)_ij + (bC)_ij

= [aC + bC]_ij

Dari hasil diatas dapat disimpulkan bahwa berlaku sifat ( a + b )C = aC + bC dengan a dan b adalah sebarang skalar bilangan real.

k) Pembuktian Operasi ( a - b )C = aC – bC

Kita harus menunjukan bahwa ( a - b )C dan aC - bC memiliki ukuran yang sama dan entri-entri yang bersesuaian adalah setara.maka untuk itu dimisalkan C = [ c_ij ] dengan a dan b merupakan sebarang skalar bilangan real. Selanjutnya kita akan menunjukan bahwa entri-entri yang bersesuaian dari ( a - b )C dan aC – bC adalah setara ; yaitu

[( a - b )C ]_ij = [ aC - bC ]_ij

untuk semua nilai i dan j. Selanjutnya berdasarkan definisi penjumlahan dan kelipatan skalar pada matriks kita peroleh :

[( a - b )C ]_ij = ( a - b )c_ij

= ac_ij- bc_ij

= (aC)_ij - (bC)_ij

= [aC - bC ]_ij

Dari hasil diatas dapat dosimpulkan bahwa berlaku sifat ( a - b )C = aC - bC dengan a dan b adalah sebarang skalar bilangan real.

l) Pembuktian Operasi a(bC) = (ab)C

Kita harus menunjukan bahwa a(bC) dan (ab)C memiliki ukuran yang sama dan entri-entri yang bersesuaian adalah setara. Maka untuk itu dimisalkan C = [ c_ij ] dengan a dan b merupakan sebarang skalar bilangan real. Selanjutnya kita akan menunjukan bahwa entri-entri yang bersesuaian dari a(bC) dan (ab)C adalah setara ; yaitu

[ a(bC) ]_ij = [ (ab)C ]_ij

untuk semua nilai i dan j. Selanjutnya berdasarkan definisi penjumlahan dan kelipatan skalar pada matriks kita peroleh :

[ a(bC) ]_ij = a(bC)_ij

= (abC)_ij

= abc_ij

=(ab)c_ij

=[ (ab)C ]_ij

Dapat disimpulkan bahwa untuk setiap matriks C = [c_ij] berlaku a(bC) = (ab)C dengan a dan b adalah sebarang skalar bilangan real.

m) Pembuktian Operasi a(BC)=(aB)C=B(aC)

Kita harus menunjukan bahwa a(BC), (aB)C dan B(aC) memiliki ukuran yang sama dan entri-entri yang bersesuaian adalah setara. Berdasarkan definisi perkalian matriks, syarat perkalian matriks adalah jumlah kolom matriks pertama harus sama dengan jumlah baris matriks kedua Maka untuk itu dimisalkan matriks B = [bij] dengan ukuran m x n dan matriks C = [ c_ij ] dengan ukuran n x r dan a adalah sebarang skalar bilangan real. Selanjutnya kita akan menunjukan bahwa entri-entri yang bersesuaian dari a(BC), (aB)C dan B(aC) adalah setara ; yaitu