//World of Mathematics

GEOMETRI EUCLIDEAN DAN GEOMETRI NON-EUCLIDEAN

Kamis, 10 Oktober 2013 • 16.47 • 0 comments

GEOMETRI

Geometri (dari bahasa Yunani γεωμετρία; geo = bumi, metria = pengukuran) secara harafiah berarti pengukuran tentang bumi, adalah cabang dari matematika yang mempelajari hubungan di dalam ruang. Dari pengalaman, atau mungkin secara intuitif, orang dapat mengetahui ruang dari ciri dasarnya, yang diistilahkan sebagai aksioma dalam geometri.

Catatan paling awal mengenai geometri dapat ditelusuri hingga ke zaman Mesir kuno, peradaban Lembah Sungai Indus dan Babilonia. Peradaban-peradaban ini diketahui memiliki keahlian dalam drainase rawa, irigasi, pengendalian banjir dan pendirian bangunan-bagunan besar. Kebanyakan geometri Mesir kuno dan Babilonia terbatas hanya pada perhitungan panjang segmen-segmen garis, luas, dan volume.

Salah satu teori awal mengenai geometri dikatakan oleh Plato dalam dialog Timaeus {360SM) bahwa alam semesta terdiri dari 4 elemen: tanah, air, udara dan api. Hal tersebut tersebut dimaksud untuk menggambarkan kondisi material padat, cair, gas dan plasma. Hal ini mendasari bentuk-bentuk geometri: tetrahedron, kubus(hexahedron), octahedron, dan icosahedron dimana masing-masing bentuk tersebut menggambarkan elemen api, tanah, udara dan air. Bentuk-bentuk ini yang lalu lebih dikenal dengan nama Platonic Solid. Ada penambahan bentuk kelima yaitu Dodecahedron, yang menurut Aristoteles untuk menggambarkan elemen kelima yaitu ether.

Euclides : Ahli Matematika Yunani
Euclides atau (±300 sM ) adalah ahli matematika Yunani, guru, penyusun buku pelajaran yang terbesar sepanjang abad. Euclides dikenal juga sebagai Euclid atau Euclid of Alexandria. Bukunya yang berjudul "Stoicheia" (unsur) tentang geometri (ilmu ukur) jadi buku pelajaran yang di pakai di sekolah menengah di seluruh dunia selama 20 abad lebih. Buku itu terdiri dari 13 jilid. Jilid 1 tentang konstruksi sederhana ilmu ukur sampai Dalil Pythagoras. Jilid II tentang aljabar yang di konstruksikan secara ilmu ukur. Jilid III dan IV tentang lingkaran. Jilid V-VI tentang perbandingan sampi deret ukur. Jilid VIII dan IX tentang teori bilangan. Jilid X tentang perbandingan lagi. Jilid XI - XIII tentang ilmu ukur ruang.

Ia juga mengarang buku-buku lain yang berjudul Data, Phaenomena, Optika, Unsur Musik, Pembagian Bentuk, Porisme (3 jilid), Pseudoria, Katoptrika, Irisan Kerucut (4 jilid). Tapi buku-buku tersebut sudah musnah.Kita tahu dari laporan orang lain, misalnya laporan Proclus, ahli filsafat Yuanai, yang menulis tentang Euclides kira-kira 700 tahun sesudah Euclides meninggal. Kapan dan dimana Euclides lahir, tak ada orang yang tahu. Kapan dan dimana Euclides meningal, juga tak ada orang yang tahu. Meskipun demikian, di bidang geometri Euclides adalah orang yang paling berpengaruh di dunia. Maka tak mengherankan kalau ia sering mendapat julukan geometri. Yang jelas ia hidup pada zaman Ptolemaeus l (305-285 sM.), raja Mesir bekas jenderal kesayangan Alexander Agung. Ptolemaeus l membuat kota Alexandria jadi ibu kota. Jadi pusat perdagangan dan pusat ilmu pengetahuan. Ptolemaeus l juga membuat perpustakaan yang terbesar di dunia pada zaman itu. Perpustakaan itu menyimpan 700.000 gulung naskah kuno. Euclides adalah orang pertama di dunia yang mendirikan sekolah matematika di Alexandria. Menurut Proclus pada suatu hari Ptolemaeus l ingin sekali belajar geometri dan Euclides. Ia mengundang Euclides ke istananya dan mulai mendengarkan pelajaran geometri dari Euclides. Tapi kemudian Ptolemaeus merasa bahwa geometri terlalu sulit dan terlalu lama untuk dimengerti. Maka ia minta agar pelajaran dipercepat. Euclides menjawab, “Bagi raja pun tak ada jalan pintas ke geometri!”

Geometri Euklides adalah sebuah geometri klasik, terdiri atas 5 postulat, yang dinisbahkan terhadap matematikawan Yunani Kuno Euklides. Geometri Euklides merupakan sistem aksiomatik, di mana semua teorema ("pernyataan yang benar") diturunkan dari bilangan aksioma yang terbatas. Mendekati buku awalnya Elemen, Euklid memberikan 5 postulat:
Setiap 2 titik dapat digabungkan oleh 1 garis lurus.
Setiap garis lurus dapat diperpanjang sampai tak terhingga dengan garis lurus.
Diberikan setiap segmen garis lurus, sebuah lingkaran dapat digambar memiliki segmen ini sebagai jari-jari dan 1 titik ujung sebagai pusat.
Semua sudut di kanan itu kongruen.
Postulat paralel. Jika 2 garis bertemu di sepertiga jalan di mana jumlah sudut dalam di 1 sisi kurang dari 2 sudut yang di kanan, kedua garis itu harus bertemu satu sama lain di sisi itu jika diperpanjang lebih jauh lagi.

Postulat yang ke-5 membuka jalan bagi geometri yang sama seperti pernyataan berikut, dikenal sebagai aksioma Playfair, yang terjadi di bidang datar:
"Melalui sebuah titik yang bukan pada garis lurus yang diberikan, hanya satu garis saja yang dapat ditarik dan tak pernah bertemu garis yang diberikan."

Geometri Euclidean, dinamai Euclid matematikawan Yunani, termasuk beberapa dari matematika tertua, geometri non-Euclidean tidak secara luas diterima sebagai sah hingga abad ke-19. Perdebatan yang akhirnya mengarah pada penemuan geometri non-Euclidean dimulai segera setelah pekerjaan Euclid Elements ditulis. Dalam Elemen, Euclid dimulai dengan sejumlah asumsi (23 definisi, lima pengertian umum, dan lima postulat) dan berusaha untuk membuktikan semua hasil lainnya (proposisi) dalam pekerjaan. Yang paling terkenal dari postulat sering disebut sebagai "Postulat Euclid Kelima," atau sekadar "postulat sejajar", yang dalam perumusan asli Euclid adalah:

Jika garis lurus jatuh pada dua garis lurus sedemikian rupa sehingga sudut interior pada sisi yang sama bersama-sama kurang dari dua sudut siku-siku, maka garis-garis lurus, jika diproduksi tanpa batas waktu, bertemu di sisi di mana adalah sudut kurang dari dua sudut kanan. matematikawan lain telah menyusun bentuk yang lebih sederhana dari properti ini (lihat paralel postulat untuk laporan setara). Terlepas dari bentuk dalil, bagaimanapun, secara konsisten tampaknya lebih rumit daripada postulat Euclid lain (yang meliputi, misalnya, "Antara setiap dua titik garis lurus dapat ditarik"). Setidaknya selama seribu tahun, geometri yang terganggu oleh kompleksitas yang berbeda dari postulat kelima, dan diyakini dapat dibuktikan sebagai teorema dari empat lainnya. Banyak berusaha untuk menemukan bukti dengan kontradiksi, termasuk matematikawan Arab Ibn al-Haytham (Alhazen, abad ke-11), matematikawan Persia Omar Khayyām (abad ke-12) dan Nasir al-Din al-Tusi (abad ke-13), dan ahli matematika Italia Giovanni Girolamo Saccheri (abad ke-18).

Teorema Ibn al-Haytham, Khayyam dan al-Tusi pada segiempat, termasuk Lambert segiempat dan Saccheri segiempat, adalah "beberapa teorema pertama dari hiperbolik dan geometri eliptik." Teorema ini bersama dengan postulat alternatif, seperti aksioma Playfair, memainkan peran penting dalam pengembangan selanjutnya dari geometri non-Euclidean. Upaya-upaya awal pada dalil kelima menantang memiliki pengaruh besar terhadap perkembangan di antara geometri kemudian Eropa, termasuk Witelo, Levi ben Gerson, Alfonso, John Wallis dan Saccheri Semua upaya ini dilakukan pada awal mencoba merumuskan non-Euclidean. Namun geometri memberikan bukti cacat dari postulat paralel, yang berisi asumsi yang pada dasarnya setara dengan postulat paralel. Ini upaya awal itu, bagaimanapun, memberikan beberapa sifat awal geometri hiperbolik dan elips.

Khayyam, bagaimanapun, mungkin sedikit dari pengecualian. Tidak seperti banyak komentator Euclid sebelum dan sesudah dia (termasuk Saccheri), Khayyam tidak berusaha untuk membuktikan paralel dalil seperti itu tetapi untuk mendapatkan dari setara sebuah postulat ia merumuskan dari "prinsip-prinsip Bertuah" (Aristoteles): "Dua konvergen garis lurus berpotongan dan tidak mungkin untuk dua garis lurus konvergen menyimpang ke arah di mana mereka berkumpul. " Khayyam kemudian dianggap sebagai tiga kasus yang tepat, tumpul, dan akut yang sudut puncak dari sebuah Saccheri segiempat dapat mengambil dan setelah membuktikan sejumlah teorema tentang mereka, ia benar membantah tumpul dan kasus-kasus akut berdasarkan dalil dan karenanya diturunkan dalil klasik Euclid. pengecualian lain mungkin anak al-Tusi's, Sadr al-Din (kadang-kadang dikenal sebagai "Pseudo-Tusi"), yang menulis sebuah buku tentang subjek pada tahun 1298, berdasarkan pikiran kemudian al-Tusi, yang disajikan salah satu argumen awal untuk setara hipotesis non-Euclidean ke postulat paralel. "Dia pada dasarnya revisi kedua sistem Euclidean aksioma dan dalil-dalil dan bukti-bukti banyak proposisi dari Elemen." Karyanya telah diterbitkan di Roma pada 1594 dan telah dipelajari oleh geometri Eropa, termasuk Saccheri.

Vitale Giordano, dalam bukunya Euclide restituo (1680, 1686), menggunakan Saccheri segiempat untuk membuktikan bahwa jika tiga poin berjarak sama di pangkalan AB dan CD puncak, maka AB dan CD di mana-mana berjarak sama.

Dalam karya berjudul Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euclid Dibebaskan dari Semua Cacat), yang diterbitkan pada tahun 1733, Saccheri cepat dibuang geometri eliptik sebagai kemungkinan (beberapa orang lain dari aksioma Euclid harus dimodifikasi untuk geometri elips untuk bekerja) dan mulai bekerja membuktikan besar jumlah hasil dalam geometri hiperbolik. Dia akhirnya mencapai titik di mana ia percaya bahwa hasilnya menunjukkan ketidakmungkinan geometri hiperbolik. klaim-Nya tampaknya telah didasarkan pada pengandaian Euclidean, karena tidak ada kontradiksi logis hadir. Dalam upaya untuk membuktikan geometri Euclid dia malah tidak sengaja menemukan geometri yang layak baru. Pada saat ini secara luas percaya bahwa alam semesta bekerja sesuai dengan prinsip-prinsip geometri Euclid. Awal abad ke-19 akan langkah-langkah yang menentukan akhirnya saksi dalam penciptaan geometri non-Euclidean. Sekitar tahun 1830, matematikawan Hongaria János Bolyai dan matematikawan Rusia Nikolai Lobachevsky terpisah diterbitkan risalah pada geometri hiperbolik. Akibatnya, geometri hiperbolik disebut geometri Bolyai-Lobachevskian, baik sebagai matematikawan, independen satu sama lain, adalah penulis dasar dari geometri non-Euclidean. Gauss disebutkan untuk ayah Bolyai, ketika ditampilkan karya Bolyai muda, bahwa ia telah mengembangkan seperti geometri sekitar 20 tahun sebelum, meskipun ia tidak mempublikasikan. Sementara Lobachevsky menciptakan geometri non-Euclidean dengan meniadakan postulat paralel, Bolyai bekerja di luar geometri dimana kedua Euclidean dan geometri hiperbolik yang mungkin tergantung pada parameter k. Bolyai mengakhiri karyanya dengan menyebutkan bahwa tidak mungkin untuk memutuskan melalui penalaran matematis saja jika geometri Euclidean alam semesta fisik atau non-Euclidean, ini adalah tugas untuk ilmu fisik.
Pada 1840-an, Hermann Grassmann menulis sebuah Ph.D. tesis tentang aljabar abstrak dan aljabar eksterior, dimana ia berpendapat bahwa dimensi dari alam semesta fisik belum tentu tiga, tetapi mungkin tak terbatas. Pada 1846 ia berasal koordinat dan kalkulus geometri metrik-gratis, cocok untuk kelas ruang termasuk affine dan proyektif spasi. Sayangnya meskipun pekerjaan Grassmann adalah penting untuk beberapa cabang matematika abad ke-20, sangat jauh di depan dari waktu yang teman-temannya tidak mengerti itu.

Bernhard Riemann, dalam sebuah kuliah yang terkenal pada 1854, menemukan bidang geometri Riemann, khususnya membahas ide-ide sekarang disebut manifold, metrik Riemann, dan kelengkungan. Dia membangun sebuah keluarga tak terbatas geometri non-Euclidean dengan memberikan rumus untuk keluarga metrik Riemann pada bola unit dalam ruang Euclidean. Kadang-kadang ia tidak adil dikreditkan dengan hanya menemukan geometri eliptik, tetapi pada kenyataannya, konstruksi ini menunjukkan bahwa karyanya jauh, dengan teorema nya memegang untuk semua geometri.

Untuk detail lebih lanjut tentang topik ini, lihat Model geometri non-Euclidean. Euclidean geometri yang dimodelkan dengan gagasan kita tentang "bidang datar." Model paling sederhana untuk geometri eliptik adalah bola, di mana garis "lingkaran besar" (seperti khatulistiwa atau meridian di dunia), dan poin saling berlawanan diidentifikasi (dianggap sama). Dalam model elips, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan suatu titik A, yang tidak pada ℓ, semua garis melalui A akan berpotongan ℓ.

Bahkan setelah karya Lobachevsky, Gauss, dan Bolyai, pertanyaan itu tetap: tidak seperti model yang ada untuk geometri hiperbolik? Model untuk geometri hiperbolik dijawab oleh Eugenio Beltrami, pada tahun 1868, yang pertama kali menunjukkan bahwa permukaan yang disebut pseudosphere mempunyai kelengkungan yang sesuai untuk model sebagian ruang hiperbolik, dan dalam kertas kedua di tahun yang sama, pasti model Klein, model Poincaré disk, dan model setengah-plane Poincaré model mana keseluruhan ruang hiperbolik, dan menggunakan ini untuk menunjukkan bahwa geometri Euclid dan geometri hiperbolik adalah equiconsistent, sehingga geometri hiperbolik itu secara logis konsisten jika dan hanya jika geometri Euclidean. (Implikasi sebaliknya mengikuti model horosphere geometri Euclidean.)
Dalam model hiperbolik, dalam pesawat dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan suatu titik A, yang tidak pada ℓ, ada banyak garis tak terbatas melalui A yang tidak berpotongan ℓ.

Geometri Non-Euclid
Setiap ilmu deduktif, geometri khususnya, harus bersandar pada suatu jumlah aksiomatertentu yang tidak perlu dibuktikan. Dalam geometri terdapat tiga aksioma yang paling eksplisit,yaitu:1. Hanya ada satu garis yang dapat melewati dua titik 2. Suatu garis lurus adalah jarak terpendek antara dua titik 3.

Melalui suatu titik hanya satu paralel bisa ditarik ke garis lurus yang diberikan.Pada umumnya, kita membuang untuk membuktikan aksioma kedua. Akan tetapi, bukti aksiomatersebut akan didapat dari menyimpulkan dua aksioma lainnya. Aksioma ketiga dikenal sebagaipostulat Euclid yang bukti aksiomanya sulit dicari meskipun dalam jangka waktu yang lama.Akhirnya, pada awal abad ke-19, dalam waktu yang hampir bersamaan, dua ilmuwan,Lobachevsky dari Rusia dan Bolyai dari Bulgaria berhasil menunjukkan bukti yang tak terbantahkan. Sejak Academi des Sciences hanya menerima sekitar satu atau dua demonstrasi per tahun, Muncullah ilmuwan terkenal Riemann dengan karyanya berjudul Geometrie zum Grundeliegen.

Sebuah geometri non-Euclidean adalah studi tentang bentuk dan konstruksi yang tidak peta langsung ke setiap sistem Euclidean n-dimensi, dicirikan oleh Riemann tensor kelengkungan non-lenyap. Contoh geometri non-Euclidean termasuk geometri hiperbolik dan elips, yang dikontraskan dengan geometri Euclidean. Perbedaan esensial antara Euclid dan geometri non-Euclidean adalah sifat dari garis paralel. postulat kelima Euclid, dalil paralel, setara dengan postulat Playfair, yang menyatakan bahwa, dalam pesawat dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan titik A, yang tidak pada ℓ, ada tepat satu garis melalui A yang tidak tidak berpotongan ℓ. Dalam geometri hiperbolik, sebaliknya, ada banyak garis tak terbatas melalui A ℓ tidak berpotongan, sementara dalam geometri eliptik, setiap garis melalui A memotong ℓ (lihat entri pada geometri hiperbola, geometri eliptik, dan geometri mutlak untuk informasi lebih lanjut).
Cara lain untuk menggambarkan perbedaan antara geometri adalah untuk mempertimbangkan dua garis lurus tanpa batas waktu diperpanjang pada bidang dua dimensi yang kedua tegak lurus ke baris ketiga:
Dalam geometri Euclid baris tetap pada jarak konstan dari satu sama lain bahkan jika diperpanjang hingga tak terbatas, dan dikenal sebagai paralel.
Dalam geometri hiperbolik mereka "kurva jauh" dari satu sama lain, peningkatan jarak sebagai salah satu bergerak lebih jauh dari titik-titik persimpangan dengan tegak lurus umum; garis ini sering disebut ultraparallels.
Dalam geometri eliptik baris "kurva terhadap" satu sama lain dan akhirnya berpotongan.

Konsep non-Euclidean geometri sistem geometryNon-Euclidean berbeda dari geometri Euclid dalam bahwa mereka memodifikasi postulat kelima Euclid, yang juga dikenal sebagai postulat paralel. Secara umum, ada dua bentuk (homogen) geometri non-Euclidean, geometri hiperbolik dan geometri eliptik. Dalam geometri hiperbolik ada garis yang jelas banyak melalui titik tertentu yang tidak akan bersinggungan dengan baris lain yang diberikan. Dalam geometri eliptik tidak ada baris yang tidak akan berpotongan, karena semua yang dimulai terpisah akan berkumpul. Selain itu, geometri eliptik memodifikasi postulat Euclid pertama sehingga dua titik menentukan sedikitnya satu baris. Geometri Riemann berurusan dengan geometri yang tidak homogen, yang berarti bahwa dalam arti tertentu tidak semua poin yang sama. Sebagai contoh, perhatikan permukaan yang dibentuk dengan menempelkan salah satu ujung silinder setengah bola. Kemudian titik pada bola lokal mematuhi geometri eliptik, tetapi titik pada silinder secara lokal mematuhi geometri Euclidean. Bernhard Riemann, bangunan pada karya Gauss, menetapkan metode untuk menggambarkan ruang tersebut. Mendasarkan sistem baru pada asumsi-asumsi, masing-masing dibangun dengan aturan sendiri dan postulat. Non-Euclidean geometri dan geometri eliptik tertentu memainkan peran penting dalam teori relativitas dan geometri ruang-waktu. Konsep diterapkan untuk pesawat non-Euclidean tertentu hanya dapat ditampilkan dalam tiga atau bahkan empat dimensi. Strip Möbius dan botol Klein keduanya adalah obyek satu sisi lengkap, mungkin di pesawat Euclidean. Strip Möbius dapat ditampilkan dalam tiga dimensi, tetapi botol Klein memerlukan empat.

Ruang lingkup geometri non-Euclidean meliputi teori ruang-waktu Herman Minkowski. Ini pengganti geometri bentuk bilinear untuk jarak metrik biasa. Konsep dalam geometri ini mengacu pada sudut hiperbolik daripada sudut Euclidean biasa, misalnya pemetaan bergerak memencet sudut ini seperti halnya sudut bergerak rotasi Euclidean biasa. Alih-alih garis tegak lurus, geometri ruang-waktu menggunakan garis hiperbolik-ortogonal yang menentukan hyperplanes simultanitas. Pondasi dari versi planar ruang-waktu dieksplorasi, menggunakan geometri sintetis, pada tahun 1912 oleh Gilbert N. Lewis dan Edwin B. Wilson di Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48:387-507. Lihat referensi bagi kutipan, "Synthetic ruang-waktu", termasuk definisi, aksioma 16, 21 teorema, dan berbagai corollaries oleh Lewis dan Wilson. Selanjutnya, geometri hiperbolik muncul dalam relativitas khusus sebagai berikut: kerangka acuan inersia ditentukan oleh kecepatan, dan diberi unit waktu, kecepatan masing-masing sesuai dengan suatu peristiwa di masa depan dari asal yang posisi pengamat dengan kecepatan setelah unit temporal. Peristiwa-peristiwa ini membentuk masa depan hyperboloid, dasar dari model hyperboloid geometri hiperbolik. Herman Minkowski membuat hubungan ini di atas kertas yang terkenal dari 1908.

REFERENSI

http://nirahayu.blogspot.com/2011/06/timeline-history-of-math.html

Label: GEOMETRI